Gabarito disponível
Considere a função real
f(x) = cos(x) · [cos(x/3) + 2 sen(x)] − sen(x) · sen(x/3) − 2,
definida no intervalo I = ]−4π, 4π[. Sobre a equação f(x) = 0, podemos afirmar que
f(x) = cos(x) · [cos(x/3) + 2 sen(x)] − sen(x) · sen(x/3) − 2,
definida no intervalo I = ]−4π, 4π[. Sobre a equação f(x) = 0, podemos afirmar que
Resolução comentada
Reescrever f(x) como cos(4x/3) + sen(2x) − 2 e mostrar que as duas parcelas nunca valem 1 ao mesmo tempo.
Expandindo, cos x·cos(x/3) − sen x·sen(x/3) = cos(4x/3), e 2·sen x·cos x = sen 2x. Logo f(x) = cos(4x/3) + sen(2x) − 2. Como cada parcela é no máximo 1, f(x) = 0 exige cos(4x/3) = 1 e sen 2x = 1 ao mesmo tempo. Mas cos(4x/3) = 1 dá x = 3kπ/2, e então sen 2x = sen(3kπ) = 0 ≠ 1. A equação não tem solução.
Análise das alternativas
B, C, D e E afirmam que existem soluções, o que contradiz a incompatibilidade mostrada acima. Só A está correta.
Referência: Trigonometria: soma de arcos e arco duplo.
Resolução comentada do VaiConcursos.