Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam A, B, C ⊆ ℝ tais que C ⊆ A. Considere as afirmações:
I. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C).
II. A ∩ B = C ∪ (B ∩ (ℝ − C)).
III. A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C.
É (São) VERDADEIRA(S):
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam A, B, C ⊆ ℝ tais que C ⊆ A. Considere as afirmações:
I. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C).
II. A ∩ B = C ∪ (B ∩ (ℝ − C)).
III. A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C.
É (São) VERDADEIRA(S):
Resolução comentada
Com C ⊆ A, I e III são verdadeiras e II é falsa.
I: pela distributividade, (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) = A∩(B∪C), pois C ⊆ A, e a igualdade vale. III: A∩(B−C) = A∩B∩Cᶜ = (A∩B)−C, e também vale. II: o lado direito contém todo C, mas A∩B pode não conter C. Por exemplo, com B = ∅ e C = A ≠ ∅, o lado esquerdo é vazio e o direito é C.
Análise das alternativas
As alternativas A, C e E consideram II verdadeira, o que é falso. A alternativa D omite a I, que é verdadeira.
Referência: Teoria dos conjuntos: distributividade e diferença de conjuntos.
Resolução comentada do VaiConcursos.