Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam A, B, C, D ∈ Mₙ(ℝ). Considere o sistema linear
{ AX = B
{ DX + Y = C
nas variáveis X, Y ∈ Mₙ(ℝ). Considere as afirmações:
I. Se det A = 0 ou det D = 0, então o sistema é impossível.
II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.
É (São) VERDADEIRA(S):
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Sejam A, B, C, D ∈ Mₙ(ℝ). Considere o sistema linear
{ AX = B
{ DX + Y = C
nas variáveis X, Y ∈ Mₙ(ℝ). Considere as afirmações:
I. Se det A = 0 ou det D = 0, então o sistema é impossível.
II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.
É (São) VERDADEIRA(S):
Resolução comentada
As três afirmações são falsas, então nenhuma é verdadeira.
I é falsa: com A = 0 e B = 0, por exemplo, o sistema é possível, apesar de det A = 0. II é falsa: se A = B for singular (como A = B = 0), há infinitas soluções X. III é falsa: se A é inversível, X = A⁻¹B é único e Y = C − DX também, sem que D precise ser inversível.
Análise das alternativas
A, B, C e D afirmam que alguma das sentenças é verdadeira, mas cada uma tem contraexemplo. Só a E está correta.
Referência: Sistemas lineares matriciais, determinantes e matriz inversa.
Resolução comentada do VaiConcursos.