Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere a elipse dada pela equação
λx² + (λ + 4)y² − 4λx − (10λ + 40)y + 25(λ + 4) − λ² = 0,
e o círculo de equação
x² + y² − 4x − 12y + 36 = 0.
Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de λ ∈ ℝ − {−4, 0} quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
A − B : denota a diferença dos conjuntos A e B.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
A̅B̅ : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.
m(A̅B̅) : denota o comprimento do segmento A̅B̅.
AB̂C : denota o ângulo formado pelos segmentos B̅A̅ e B̅C̅, com vértice em B.
det A : denota o determinante da matriz A.
Aᵀ : denota a transposta da matriz A.
Considere a elipse dada pela equação
λx² + (λ + 4)y² − 4λx − (10λ + 40)y + 25(λ + 4) − λ² = 0,
e o círculo de equação
x² + y² − 4x − 12y + 36 = 0.
Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de λ ∈ ℝ − {−4, 0} quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:
Resolução comentada
Elipse contendo um círculo, com excentricidade máxima.
Completando quadrados, a elipse fica (x−2)²/(λ+4) + (y−5)²/λ = 1, com λ > 0 e centro (2,5). O círculo tem centro (2,6) e raio 2. A excentricidade é e² = 4/(λ+4), que é maior quanto menor for λ. Para o círculo ficar dentro da elipse, o ponto do círculo mais alto (3 unidades acima do centro da elipse, em y) exige √λ − 1 ≥ 2, ou seja, λ ≥ 9. O menor λ possível é 9.
Análise das alternativas
λ = 3 e λ = 5 não acomodam o círculo. 13 e 15 contêm o círculo, mas dão excentricidade menor. Resposta: C.
Referência: Geometria analítica; cônicas
Resolução comentada do VaiConcursos.