Gabarito disponível
A quantidade de números pares de cinco algarismos distintos que podem ser formados usando-se os algarismos do coeficiente do termo médio no desenvolvimento de (α − 4/α²)⁸, segundo as potências de expoentes decrescentes de α é:
Resolução comentada
O termo médio tem coeficiente 17920, e há 42 pares de cinco algarismos distintos.
Com 8 termos, o termo médio é T5 = C(8,4)·α⁴·(−4/α²)⁴, de coeficiente 70·256 = 17920. Os algarismos são 1, 7, 9, 2, 0. Terminados em 0: 4! = 24. Terminados em 2 (0 não pode ser o primeiro): 3·3·2·1 = 18. Total: 24 + 18 = 42.
Análise das alternativas
A) 72, B) 48 e D) 36 vêm de contar mal os casos (por exemplo, esquecer que o 0 não pode iniciar o número ou contar duas vezes o final 2). Só 42 fecha a contagem.
Referência: Binômio de Newton (termo geral) e análise combinatória (arranjos com restrição).
Resolução comentada do VaiConcursos.