Gabarito disponível
Determine a componente de entrada nula da resposta ao sistema linear invariante no tempo descrito pela equação diferencial (D² + 9D + 18)y(t) = Dx(t), quando as condições iniciais forem y(0) = 0 e ẏ(0) = 3. Considere que D é o operador que representa d/dt e x(t) é a entrada do sistema.
Resolução comentada
Raízes −3 e −6 com y(0)=0 e ẏ(0)=3 dão y₀ = e⁻³ᵗ − e⁻⁶ᵗ.
A equação característica λ²+9λ+18=0 tem raízes −3 e −6, então y₀ = c₁e⁻³ᵗ + c₂e⁻⁶ᵗ. De y(0)=0 vem c₂=−c₁. De ẏ(0)=−3c₁−6c₂=3 vem c₁=1 e c₂=−1.
Análise das alternativas
A) usa raízes −1 e −2, que são erradas. B) tem sinais trocados e ẏ(0)=−3. C) repete e⁻³ᵗ e não tem a raiz −6. D) satisfaz y(0)=2, e não 0.
Referência: Resposta de entrada nula de sistemas LIT (Lathi).
Resolução comentada do VaiConcursos.