Gabarito disponível
A equação x/y = x − y, com x, y ∈ ℝ e y ≠ 0, possui solução não vazia. A única alternativa que apresenta uma afirmação correta é
Resolução comentada
Isolar x na equação x/y = x − y e testar as alternativas.
De x = y(x − y) vem x(1 − y) = −y², logo x = y²/(y − 1) com y ≠ 0 e y ≠ 1. Para y = ∛2: 1/(y − 1) = (1 + y + y²)/(y³ − 1) = 1 + y + y². Então x = y² + y³ + y⁴ = ∛4 + 2 + 2∛2, que é a alternativa E.
Análise das alternativas
Tratando y² − xy + x = 0, o discriminante x² − 4x deve ser ≥ 0, o que exige x ≤ 0 ou x ≥ 4. A está errada: x = 2/3 não satisfaz isso. B está errada: x = 0 exigiria y = 0. C está errada: x = −1 é possível e é maior que −2. D está errada: y = 1 é excluído.
Referência: Equações com duas incógnitas e discriminante.
Resolução comentada do VaiConcursos.