Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Seja p(x) = x³ + bx² + cx + d um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de p(x) são reais e, para todo x ∈ ℝ,
p(2 + x) = −p(2 − x),
então o menor valor possível para p(0) é
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Seja p(x) = x³ + bx² + cx + d um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de p(x) são reais e, para todo x ∈ ℝ,
p(2 + x) = −p(2 − x),
então o menor valor possível para p(0) é
Resolução comentada
A simetria p(2+x) = −p(2−x) fixa o centro de simetria em (2, 0).
A condição indica que 2 é raiz e que as outras raízes são 2 ± a. Logo p(x) = (x − 2)[(x − 2)² − a²], com a² ≥ 0 para as raízes serem reais. Então p(0) = −2(4 − a²) = −8 + 2a², cujo mínimo ocorre com a = 0, dando −8.
Análise das alternativas
A) −10 exigiria a² < 0 (raízes complexas). C, D e E são maiores que o mínimo e correspondem a valores de a² não nulos.
Referência: Polinômios: simetria e relações entre raízes.
Resolução comentada do VaiConcursos.