Gabarito disponível
Uma professora pediu a cada estudante que levasse régua, fita métrica e uma grande cartolina branca para a sala de aula na aula seguinte, para a realização de uma atividade. No dia marcado, ela deu as seguintes orientações, a que os estudantes deveriam atender.
1) Desenhe um segmento de reta com mais de 1 metro de comprimento.
2) Marque, no segmento de reta, a lápis, um ponto indicado com o número 0 e outro ponto, indicado com o número 1, a exatamente 1 metro de distância do primeiro.
3) Utilizando sempre a escala métrica, marque, no segmento de reta, entre os números 0 e 1, todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
4) Depois, marque todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
Em seguida, em um experimento mental, a professora pediu aos estudantes que fechassem seus olhos e se imaginassem marcando, sucessivamente, todos os números decimais exatos com exatamente 3 casas decimais, depois exatamente 4, e assim por diante, indefinidamente.
Considerando um estudante que tenha executado com perfeição todos os comandos dados e desconsiderando eventuais dificuldades práticas quanto à espessura da ponta do lápis, assinale a opção correta acerca da atividade desenvolvida pela professora.
1) Desenhe um segmento de reta com mais de 1 metro de comprimento.
2) Marque, no segmento de reta, a lápis, um ponto indicado com o número 0 e outro ponto, indicado com o número 1, a exatamente 1 metro de distância do primeiro.
3) Utilizando sempre a escala métrica, marque, no segmento de reta, entre os números 0 e 1, todos os números decimais exatos com exatamente uma casa decimal.
4) Depois, marque todos os números decimais exatos com exatamente duas casas decimais.
Em seguida, em um experimento mental, a professora pediu aos estudantes que fechassem seus olhos e se imaginassem marcando, sucessivamente, todos os números decimais exatos com exatamente 3 casas decimais, depois exatamente 4, e assim por diante, indefinidamente.
Considerando um estudante que tenha executado com perfeição todos os comandos dados e desconsiderando eventuais dificuldades práticas quanto à espessura da ponta do lápis, assinale a opção correta acerca da atividade desenvolvida pela professora.
Resolução comentada
Os decimais exatos são densos em [0,1]: existe um ponto marcado a menos de 10⁻¹⁰ de qualquer ponto.
Para qualquer A em [0,1], truncar A na 10ª casa decimal dá um decimal marcado a uma distância menor que 10⁻¹⁰ (ou igual a A, se A for marcado). Isso mostra que os pontos marcados são densos no segmento.
Análise das alternativas
A) Errada: 0,123456789999... = 0,12345679, um decimal exato que será marcado. C) Errada: só se marcam decimais exatos, que são racionais. D) Errada: racionais como 1/3 têm dízima infinita e nunca são marcados. E) Errada: irracionais e racionais como 1/3 ficam de fora, de modo que a reta não fica totalmente preenchida.
Referência: Densidade dos racionais nos reais; representação decimal.
Resolução comentada do VaiConcursos.