Questão 30 — Transformada de Laplace — Resolução de Equações Diferenciais (Sinais e Sistemas) — Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2019

Sinais e Sistemas Transformada de Laplace — Resolução de Equações Diferenciais

Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha 2019 Superior

Marinha do Brasil · Oficial dos Quadros Complementares da Armada e de Fuzileiros Navais (CP-QC-CA e QC-FN) — Eletrônica · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Para um sinal y(t), a transformada de Laplace Y(S) é definida por: Y(S) = ∫₋∞⁺∞ y(t)e⁻ˢᵗdt
A resposta y(t) de um sistema descrito pela equação d²y/dt² + 5dy/dt + 6y(t) = dx/dt + x(t) é:
Dado: considere a entrada x(t) = 3e⁻⁵ᵗu(t)
e todas as condições iniciais = 0.

Selecione uma alternativa A) y(t) = (−2e⁻⁵ᵗ − e⁻²ᵗ + 3e⁻³ᵗ)u(t) B) y(t) = (−e⁻⁵ᵗ − 5e⁻²ᵗ + 6e⁻³ᵗ)u(t) C) y(t) = (−2e⁻²ᵗ − e⁻⁵ᵗ + 3e⁻ᵗ)u(t) D) y(t) = (−e⁻⁵ᵗ − e⁻²ᵗ + 3e⁻ᵗ)u(t) E) y(t) = (−2e⁻ᵗ − e⁻ᵗ + 3e⁻⁵ᵗ)u(t)

Resolução comentada

Resposta ao degrau exponencial via Laplace e frações parciais.

Com condições iniciais nulas, H(s) = (s+1)/(s²+5s+6) = (s+1)/((s+2)(s+3)), e X(s) = 3/(s+5). Logo Y(s) = 3(s+1)/((s+2)(s+3)(s+5)). Os resíduos são −1 em s = −2, 3 em s = −3 e −2 em s = −5. Portanto y(t) = (−2e⁻⁵ᵗ − e⁻²ᵗ + 3e⁻³ᵗ)u(t).

Análise das alternativas

B, C, D e E têm coeficientes ou expoentes que não correspondem aos polos −2, −3 e −5 com os resíduos calculados. D, por exemplo, usa e⁻ᵗ, que não é polo do sistema.

Referência: Transformada de Laplace e expansão em frações parciais.

Resolução comentada do VaiConcursos.