Gabarito disponível
Seja F⃗ um campo vetorial do R³ definido por F⃗ = xz²i⃗ + z⁴j⃗ + yzk⃗ e seja S a superfície x² + y² + z² = 4, com √2 ≤ z ≤ √3, e o vetor normal n⃗ apontado para cima, assinale a opção que apresenta o valor do fluxo do rotacional de F⃗ sobre S.
Resolução comentada
Pelo Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional é a circulação nas duas circunferências de fronteira, e cada uma vale zero.
A fronteira de S são as circunferências em z = √3 (raio 1) e z = √2 (raio √2). Em cada uma z é constante, então dz = 0 e ∮F·dr = z²∮x dx + z⁴∮dy. Ambas as integrais são zero em curva fechada. A circulação total é 0 e, portanto, o fluxo do rotacional é 0.
Análise das alternativas
A, B, D e E (−2, −1, 1, 2) viriam de erro de cálculo ou de sinal. Como as duas integrais de linha se anulam, o resultado é nulo, o que também ocorreria com a orientação oposta.
Referência: Teorema de Stokes: ∬(rot F)·n dS = ∮F·dr.
Resolução comentada do VaiConcursos.