Padrão de resposta da banca disponível
Texto-base:
Um professor universitário do curso de Licenciatura em Matemática deseja criar um material didático sobre análise combinatória para seus alunos, futuros docentes dessa disciplina. Uma das questões desse material é apresentada a seguir.
Questão
Dado um quadriculado 5 por 5, como na figura abaixo, à esquerda, deseja-se saber quantos caminhos existem da origem (0,0) até o ponto Q = (5,5), caminhando-se somente para a direita ou para cima, de modo que, em cada ponto do percurso, ao menos uma das coordenadas seja inteira. A mudança de direção só é permitida em pontos com ambas as coordenadas inteiras. Um caminho possível está mostrado na figura abaixo, à direita.
Figura 1. À esquerda, a grade 5 por 5; à direita, um caminho possível, destacado, da origem até o ponto Q.
Uma estratégia de contagem da quantidade total dos caminhos descritos na questão acima é adotar a letra “c” para cada passo unitário para cima e a letra “d” para cada passo unitário para a direita. Na grade 5x5, um caminho pode ser representado por cinco letras “c” e cinco letras “d”, da origem (0,0) até o ponto Q, cuja ordem depende do caminho. Desse modo, a quantidade de caminhos possíveis da origem (0,0) até o ponto Q será a quantidade de permutações dessas dez letras, com elementos repetidos.
Considerando a situação hipotética apresentada e pensando na generalização como um fator da modelagem matemática, faça o que se pede a seguir.
Um professor universitário do curso de Licenciatura em Matemática deseja criar um material didático sobre análise combinatória para seus alunos, futuros docentes dessa disciplina. Uma das questões desse material é apresentada a seguir.
Questão
Dado um quadriculado 5 por 5, como na figura abaixo, à esquerda, deseja-se saber quantos caminhos existem da origem (0,0) até o ponto Q = (5,5), caminhando-se somente para a direita ou para cima, de modo que, em cada ponto do percurso, ao menos uma das coordenadas seja inteira. A mudança de direção só é permitida em pontos com ambas as coordenadas inteiras. Um caminho possível está mostrado na figura abaixo, à direita.
Figura 1. À esquerda, a grade 5 por 5; à direita, um caminho possível, destacado, da origem até o ponto Q.
Uma estratégia de contagem da quantidade total dos caminhos descritos na questão acima é adotar a letra “c” para cada passo unitário para cima e a letra “d” para cada passo unitário para a direita. Na grade 5x5, um caminho pode ser representado por cinco letras “c” e cinco letras “d”, da origem (0,0) até o ponto Q, cuja ordem depende do caminho. Desse modo, a quantidade de caminhos possíveis da origem (0,0) até o ponto Q será a quantidade de permutações dessas dez letras, com elementos repetidos.
Considerando a situação hipotética apresentada e pensando na generalização como um fator da modelagem matemática, faça o que se pede a seguir.
- 1Elabore a resposta esperada para a questão posta na situação acima de acordo com a estratégia apresentada, contabilizando a quantidade de caminhos existentes da origem (0,0) até o ponto Q = (5,5), nas condições elencadas no problema.3 pontos
- 2Reformule a questão apresentada para uma grade qualquer M por M, em que M seja um inteiro positivo, mantendo as regras de deslocamento acima apresentadas.3 pontos
- 3Mostre como ficaria a resposta esperada no caso geral, ou seja, determine a fórmula para a quantidade de caminhos nessa grade generalizada M por M.2 pontos
Em cada questão, ao domínio do conteúdo serão atribuídos até 8,00 pontos e à capacidade de expressão na modalidade escrita e ao uso das normas do registro formal culto da língua portuguesa serão atribuídos até 2,00 pontos.
Quesito 1 – Capacidade de expressão na modalidade escrita e uso das normas do registro formal culto da Língua Portuguesa: Conceito 0 – Insuficiente; Conceito 1 – Ruim; Conceito 2 – Regular; Conceito 3 – Bom; Conceito 4 – Ótimo.
O caderno traz espaço para rascunho de 10 linhas. Qualquer fragmento de texto além da extensão máxima de linhas disponibilizadas será desconsiderado.