Gabarito disponível
Seja o plano α de equação α: w⃗ = a⃗ + p . v⃗ + q . u⃗, p, q ∈ R, com
a⃗ = (−1, 1, 1)ᵀ, v⃗ = (3, −2, 1)ᵀ e u⃗ = (1, −1, 2)ᵀ. O volume do tetraedro que possui vértices na origem (0, 0, 0) e nas intersecções de α com os eixos coordenados é igual a
a⃗ = (−1, 1, 1)ᵀ, v⃗ = (3, −2, 1)ᵀ e u⃗ = (1, −1, 2)ᵀ. O volume do tetraedro que possui vértices na origem (0, 0, 0) e nas intersecções de α com os eixos coordenados é igual a
Resolução comentada
O plano é 3x + 5y + z = 3, com interceptos 1, 3/5 e 3, e o volume do tetraedro é 3/10.
O vetor normal é v×u = (−3, −5, −1). Usando o ponto a = (−1, 1, 1), a equação do plano é 3x + 5y + z = 3. Os interceptos com os eixos são (1,0,0), (0,3/5,0) e (0,0,3). O volume do tetraedro com a origem é (1/6)·1·(3/5)·3 = 9/30 = 3/10.
Análise das alternativas
A) 1/3, B) 3/5, C) 1/5 e E) 2/5: não resultam de (1/6)·1·(3/5)·3. Em geral vêm de erro no produto vetorial ou de esquecer o fator 1/6 do tetraedro.
Referência: Equação do plano pelo produto vetorial; volume do tetraedro = (1/6)|abc|.
Resolução comentada do VaiConcursos.