Gabarito disponível
Considere um triângulo ABC de modo que C esteja na origem do sistema cartesiano, A esteja no eixo das abscissas com coordenada (x, 0), com x > 0, B esteja no primeiro quadrante e θ seja a medida do ângulo AĈB. Considere também que os comprimentos dos segmentos CB e AB sejam, respectivamente, 3 cm e 5 cm, e que θ varie a uma taxa constante de 1/2 rad/s. Desse modo, assinale a opção que apresenta a velocidade do ponto A quando θ = π/2 rad.
Resolução comentada
Com a lei dos cossenos derivada em t, a velocidade de A em θ = π/2 é −3/2 cm/s.
Pela lei dos cossenos, 25 = x² + 9 − 6x·cosθ, ou seja, x² − 6x·cosθ − 16 = 0. Derivando em relação a t: 2x·x' − 6x'·cosθ + 6x·senθ·θ' = 0. Em θ = π/2, x² = 16, então x = 4, com cosθ = 0, senθ = 1 e θ' = 1/2. Fica 8x' + 12 = 0, logo x' = −3/2 cm/s.
Análise das alternativas
A) −1/2, B) 3/4, C) 1/2 e E) −4/3: não satisfazem 8x' + 12 = 0. B e C ainda têm sinal positivo, mas A está se aproximando da origem, então a velocidade é negativa.
Referência: Taxas relacionadas; lei dos cossenos.
Resolução comentada do VaiConcursos.