Questão 21 — Geometria Espacial — Volume de Pirâmide (Matemática) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha · Marinha do Brasil — Escola Naval 2022

Matemática Geometria Espacial — Volume de Pirâmide

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha 2022

Marinha do Brasil — Escola Naval · Caderno Azul

Gabarito disponível

Uma perpendicular de comprimento p é traçada do pé da altura de uma pirâmide regular SABC até uma aresta lateral (SC, SB ou SA). Assinale a opção que apresenta o volume da pirâmide SABC se o ângulo entre suas faces é 2a.

Selecione uma alternativa A) (6/5)p² · tg²(α) / √(2 − cotg²(α)) B) (1/12)p² · cotg²(2α) / √(3 − tg²(α)) C) (2/3)p³ · tg²(2α) / √(2 − cotg²(α)) D) (3/2)p² · tg²(α) / √(1 − cotg²(2α)) E) (9/4)p³ · tg²(α) / √(3 − cotg²(α))

Resolução comentada

V = (9/4)p³·tg²α / √(3 − cotg²α).

Seja l a aresta lateral, a o lado da base, h a altura e R = a/√3. A perpendicular do pé da altura à aresta lateral mede p = hR/l. O ângulo diedral 2α entre as faces dá AK = a/(2senα), onde K é o pé da perpendicular de A a SC. Daí a²/(4l²) = 1 − 1/(4sen²α). Com u = 4a²/(12l²) = (3 − cotg²α)/3, obtém-se V = (√3/4)p³/(√u·(1−u)), e 1−u = cotg²α/3. Isso resulta em V = (9/4)p³tg²α/√(3−cotg²α).

Análise das alternativas

As alternativas A, B e D têm p² em vez de p³ (o volume tem dimensão de comprimento ao cubo), logo são dimensionalmente impossíveis. A alternativa C tem p³, mas com coeficiente e forma trigonométrica que não coincidem com a dedução.

Referência: Geometria espacial: pirâmide regular triangular, ângulo diedral e volume.

Resolução comentada do VaiConcursos.