Gabarito disponível
Seja z = √3/2 + (1/2)i um número complexo, sendo i a unidade imaginária.
Considere a soma S = 1 + Z + Z² + Z³ + ... + Z⁴⁹ + Z⁵⁰. Desse modo, assinale a opção que apresenta o intervalo R ao qual a parte real de S pertence. Dados: √2 = 1,4; √3 = 1,7 e √5 = 2,2.
Considere a soma S = 1 + Z + Z² + Z³ + ... + Z⁴⁹ + Z⁵⁰. Desse modo, assinale a opção que apresenta o intervalo R ao qual a parte real de S pertence. Dados: √2 = 1,4; √3 = 1,7 e √5 = 2,2.
Resolução comentada
S = (1 − z⁵¹)/(1 − z), com z⁵¹ = i; Re(S) ≈ 2,4.
z = cos30° + i sen30°, então z⁵¹ tem argumento 51·30° = 1530° ≡ 90°, e z⁵¹ = i. S é uma PG de 51 termos: S = (1−i)/(1−z). Com 1−z = a − i/2 e a = 1 − √3/2 ≈ 0,15, a parte real é (a + 1/2)/(a² + 1/4) ≈ 0,65/0,2725 ≈ 2,4, que está em (2; 3).
Análise das alternativas
As demais faixas, (−1;0), (−3;−2), (−2;−1) e (0;1), não contêm 2,4. Valores negativos surgem se z⁵¹ for calculado incorretamente como −i.
Referência: Números complexos: forma trigonométrica e soma de PG.
Resolução comentada do VaiConcursos.