Gabarito disponível
Os pontos de mínimo local de f(x,y) = x³ + 2y⁴ − 3x + 64y + 17 são:
Resolução comentada
Os pontos críticos são (±1, −2), e só (1, −2) é mínimo local.
fx = 3x² − 3 = 0 dá x = ±1. fy = 8y³ + 64 = 0 dá y = −2. No Hessiano, fxx = 6x, fyy = 24y² = 96 e fxy = 0. Em (1,−2): fxx = 6 > 0 e det = 6·96 > 0, então é mínimo local. Em (−1,−2): det = −6·96 < 0, então é ponto de sela.
Análise das alternativas
Qualquer opção com y = 2 não é ponto crítico. As opções com (−1,−2) incluem um ponto de sela, que não é mínimo local.
Referência: Cálculo II: pontos críticos e teste da segunda derivada (Hessiano).
Resolução comentada do VaiConcursos.