Questão 1 — Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis (Cálculo Diferencial e Integral) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros da Marinha 2025

Cálculo Diferencial e Integral Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2025 Superior

Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros da Marinha · Oficial Engenheiro — Corpo de Engenheiros da Marinha (prova comum a todas as engenharias) · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Sejam f: ℝⁿ → ℝ e g: ℝⁿ → ℝ funções diferenciáveis e considere h(x) = f(x) + g(x), x ∈ ℝⁿ. Se a é um ponto de máximo da função h, então é correto afirmar que:

Selecione uma alternativa A) a é sempre um ponto de máximo das funções f e g. B) ∇f(a) = 0 e ∇g(a) = 0. C) Pelo menos um dos gradientes de f e g anula-se em a. D) ∇f(a) e ∇g(a) são sempre vetores linearmente independentes. E) ∇f(a) e ∇g(a) são sempre vetores linearmente dependentes.

Resolução comentada

No máximo de h diferenciável, ∇h = 0, ou seja, ∇f(a) = −∇g(a).

Como a é máximo (ponto interior em ℝⁿ) de h = f + g, ∇h(a) = ∇f(a) + ∇g(a) = 0. Logo ∇f(a) = −∇g(a), e os vetores são sempre linearmente dependentes.

Análise das alternativas

A) f e g individualmente não precisam ter máximo em a. B) e C) exigiriam gradientes nulos, o que não é necessário (só a soma é nula). D) é falsa, pois são sempre dependentes.

Referência: Cálculo de várias variáveis – Condição necessária de extremo.

Resolução comentada do VaiConcursos.