Gabarito disponível
Considere a transformação linear abaixo.
T(x,y,z) = (2x − y + z, −4x + 2y − 2z, 4x − 2y + λz),
(x,y,z) ∈ ℝ³
Assinale a opção correta.
T(x,y,z) = (2x − y + z, −4x + 2y − 2z, 4x − 2y + λz),
(x,y,z) ∈ ℝ³
Assinale a opção correta.
Resolução comentada
A matriz de T tem posto 2 se λ ≠ 2 (imagem é um plano) e posto 1 se λ = 2.
As linhas da matriz são (2,−1,1), (−4,2,−2) e (4,−2,λ). A 2ª linha é −2 vezes a 1ª, e a 3ª é 2 vezes a 1ª apenas quando λ = 2. Para λ ≠ 2 há exatamente duas linhas independentes, então o posto é 2 e a imagem é um plano. Para λ = 2 o posto é 1 e a imagem é uma reta.
Análise das alternativas
A, B, C e D trocam o valor crítico por −2, −1, 0 e 1. Nesses valores a 3ª linha não é múltipla da 1ª, então o posto não cai e a condição não é a correta. Além disso, 'λ ≠ k' só faz sentido como condição se k = 2.
Referência: Álgebra Linear: teorema do posto-nulidade; imagem de transformação linear e posto da matriz.
Resolução comentada do VaiConcursos.