Questão 7 — Transformações Lineares — Núcleo e Imagem (Álgebra Linear) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros da Marinha 2025

Álgebra Linear Transformações Lineares — Núcleo e Imagem

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2025 Superior

Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros da Marinha · Oficial Engenheiro — Corpo de Engenheiros da Marinha (prova comum a todas as engenharias) · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Represente por u × v o produto vetorial de u por v em ℝ³ e considere a transformação linear T(x) = x × (1,2,1), x = (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³. A imagem de T é:

Selecione uma alternativa A) todo o espaço ℝ³. B) uma reta do plano de equação x₁ + 2x₂ + x₃ = 0. C) uma reta do plano de equação x₁ − 2x₂ + x₃ = 0. D) todo o plano de equação x₁ + 2x₂ + x₃ = 0. E) todo o plano de equação x₁ − 2x₂ + x₃ = 0.

Resolução comentada

A imagem de x ↦ x × v é o plano perpendicular a v = (1,2,1).

Todo x × v é ortogonal a v, logo a imagem está no plano x₁ + 2x₂ + x₃ = 0. O núcleo é a reta gerada por v (dimensão 1), então pelo teorema do núcleo e da imagem a imagem tem dimensão 2. Portanto a imagem é todo esse plano.

Análise das alternativas

A) a imagem tem dimensão 2, não 3. B) e C) afirmam que a imagem é uma reta, mas ela tem dimensão 2. C) e E) usam o plano com vetor normal (1,−2,1), que não é perpendicular a (1,2,1).

Referência: Álgebra linear – Núcleo e imagem; produto vetorial.

Resolução comentada do VaiConcursos.