Gabarito disponível
Assinale a opção que apresenta o intervalo dos α ∈ ℝ para os quais y″ + (α − 1)y′ − αy = 0 tem uma solução que não é limitada em (−∞, 0).
Resolução comentada
As raízes são 1 e −α; e^(−αx) é ilimitada em (−∞,0) quando α > 0.
A equação característica r² + (α−1)r − α = 0 fatora-se em (r−1)(r+α) = 0, com raízes 1 e −α. A solução e^x é limitada em (−∞,0). Já e^(−αx) tende a infinito quando x → −∞ se α > 0, logo existe solução ilimitada para α ∈ (0, +∞), alternativa A.
Análise das alternativas
B, D e E) Envolvem α negativo ou menor que 1, onde e^(−αx) tende a 0 ou é constante quando x → −∞ (para α ≤ 0 todas as soluções são limitadas). C) (1, +∞) é só parte do intervalo correto, pois α entre 0 e 1 também gera solução ilimitada.
Referência: EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Resolução comentada do VaiConcursos.