Gabarito disponível
Um cientista estudava a trajetória de uma partícula subatômica explosiva. Ele conseguiu calcular a trajetória da partícula ao parametrizar o raio e o ângulo em função do tempo t para instantes t > 0, conforme descrito a seguir:
R(t) = t²
Θ(t) = t
Seja P(t) a posição da partícula em função do tempo, R(t) representa a distância de P da origem (ou seja: ||P(t)||₂ = R(t)) e Θ(t) representa o ângulo PÔX em radianos com X representando o vetor unitário das abcissas com sentido positivo. Qual a quantidade de vezes em que a partícula cruza com o eixo X das abcissas no referido sistema para R(t) < 100?
R(t) = t²
Θ(t) = t
Seja P(t) a posição da partícula em função do tempo, R(t) representa a distância de P da origem (ou seja: ||P(t)||₂ = R(t)) e Θ(t) representa o ângulo PÔX em radianos com X representando o vetor unitário das abcissas com sentido positivo. Qual a quantidade de vezes em que a partícula cruza com o eixo X das abcissas no referido sistema para R(t) < 100?
Resolução comentada
Número de cruzamentos do eixo X pela espiral r = t², θ = t, com r < 100.
A partícula está sobre o eixo X quando sen θ = 0, isto é, t = kπ com t > 0. A condição r < 100 dá t² < 100, logo t < 10. Como kπ < 10 implica k ≤ 3 (3π ≈ 9,42 e 4π ≈ 12,57), os cruzamentos ocorrem em π, 2π e 3π, ou seja, 3 vezes.
Análise das alternativas
A) 2 ignora o cruzamento em 3π. C), D) e E) incluiriam t = 4π ≈ 12,57 ou mais, que dá r > 100.
Referência: Coordenadas polares e curvas paramétricas.
Resolução comentada do VaiConcursos.