Gabarito disponível
A proliferação de 3 culturas diferentes de fungos mortais (α,β e γ) foi estudada por um epidemiologista em uma base temporal diária. Sendo "n" o índice que determina o dia do experimento, foi observado que:
• O fungo α possui crescimento independente;
• O fungo β cresce menos se α se desenvolver, por serem "concorrentes" e consumirem os mesmos tipos de substâncias presentes no ambiente; e
• O fungo γ tinha seu crescimento favorecido por α (devido à produção de substâncias a ele benéficas) e prejudicado por β, que dele se alimentava.
A modelagem dessa dinâmica é descrita por:
α(n + 1) = M.α(n)
β(n + 1) = −α(n) + N.β(n)
γ(n + 1) = α(n) − β(n) + P.γ(n)
Onde os coeficientes "M", "N" e "P" são desconhecidos pelo cientista e são positivos. Se qualquer um dos fungos se proliferar indefinidamente pelo mundo, uma grave hecatombe biológica assolará as estruturas globais. Sendo assim, em qual das cinco hipóteses apresentadas abaixo, de combinações de valores para "M", "N" e "P", NÃO existe tal risco?
• O fungo α possui crescimento independente;
• O fungo β cresce menos se α se desenvolver, por serem "concorrentes" e consumirem os mesmos tipos de substâncias presentes no ambiente; e
• O fungo γ tinha seu crescimento favorecido por α (devido à produção de substâncias a ele benéficas) e prejudicado por β, que dele se alimentava.
A modelagem dessa dinâmica é descrita por:
α(n + 1) = M.α(n)
β(n + 1) = −α(n) + N.β(n)
γ(n + 1) = α(n) − β(n) + P.γ(n)
Onde os coeficientes "M", "N" e "P" são desconhecidos pelo cientista e são positivos. Se qualquer um dos fungos se proliferar indefinidamente pelo mundo, uma grave hecatombe biológica assolará as estruturas globais. Sendo assim, em qual das cinco hipóteses apresentadas abaixo, de combinações de valores para "M", "N" e "P", NÃO existe tal risco?
Resolução comentada
O sistema é triangular, então seus autovalores são M, N e P. Para não haver crescimento indefinido, todos devem ser menores que 1.
A matriz do sistema é triangular inferior com diagonal M, N, P. Só há estabilidade (nenhum fungo cresce indefinidamente) se todos os autovalores tiverem módulo menor que 1. Em C: 0,3; 0,333 e 0,09 são todos menores que 1.
Análise das alternativas
A: P = 1,1 > 1. B: N = 2 > 1. D: N = 2,5 > 1. E: N = 1,5 > 1. Em todas há ao menos um autovalor com módulo maior que 1, e então há crescimento ilimitado.
Referência: Equações de diferenças lineares: estabilidade (autovalores com |λ| < 1).
Resolução comentada do VaiConcursos.