Gabarito disponível
A variável aleatória X possui função densidade de probabilidade conforme descrito abaixo.
f(x) = 4x exp{−2x}
Sabendo-se que X possui distribuição Gama, com X > 0 calcule a variância de 0,5X e assinale a opção correta.
f(x) = 4x exp{−2x}
Sabendo-se que X possui distribuição Gama, com X > 0 calcule a variância de 0,5X e assinale a opção correta.
Resolução comentada
X ~ Gama(α=2, taxa=2); Var(0,5X)=0,25·0,5=0,125.
A densidade f(x)=4x·e^{−2x} é uma Gama com α=2 e taxa β=2, pois β^α/Γ(α) = 4. A variância é α/β² = 2/4 = 0,5. Então Var(0,5X) = 0,25·0,5 = 0,125.
Análise das alternativas
As alternativas A, B, C e E não resultam de Var(aX)=a²Var(X) com Var(X)=0,5. Elas costumam vir de errar a parametrização ou de não elevar a constante ao quadrado.
Referência: Distribuição Gama; propriedades da variância.
Resolução comentada do VaiConcursos.