Gabarito disponível
Todas as soluções da equação diferencial y″ + by = 0 satisfazem y(x) = y(x + 2π), para todo x ∈ ℝ. Nessas condições vale que:
Resolução comentada
Todas as soluções de y″ + by = 0 têm período 2π apenas se b = n², n inteiro positivo.
Para b > 0, as soluções são combinações de cos(√b x) e sen(√b x), com período 2π/√b. Todas satisfazem y(x) = y(x+2π) quando √b = n inteiro positivo, ou seja, b = n². Para b ≤ 0 as soluções são polinômios de grau 1 ou exponenciais, que não são periódicas (b = 0 dá y = c₁ + c₂x).
Análise das alternativas
A) e C) b negativo dá exponenciais, que não são periódicas. D) √n inteiro só vale para n quadrado perfeito, e o período não seria 2π em geral. E) n³ não torna √b inteiro.
Referência: EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Resolução comentada do VaiConcursos.