Gabarito disponível
Assinale a opção que apresenta o conjunto solução da equação (1/2) arctg (x) = arctg ((1 − x)/(1 + x)), considerando suas condições de existência.
Resolução comentada
Resolver (1/2)arctg x = arctg((1−x)/(1+x)).
Seja θ=arctg x. Então (1−x)/(1+x)=tg(π/4−θ), e para θ>−π/4 vale arctg((1−x)/(1+x))=π/4−θ. A equação fica θ/2=π/4−θ, logo θ=π/6 e x=√3/3. A outra raiz possível (θ=−π/2) está fora da imagem do arctg.
Análise das alternativas
−√3/3 daria θ=−π/6, e então θ/2=−π/12 não é igual a π/4+π/6. As alternativas com √2 não satisfazem a equação. Apenas √3/3 é solução.
Referência: Funções trigonométricas inversas; tangente da diferença.
Resolução comentada do VaiConcursos.