Gabarito disponível
A área da região delimitada pela elipse de equação x²/4 + y²/a² = 1, com a > 0, é igual à área de região {(x, y) ∈ ℝ² : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ y² ≤ π²(9 − x)}. Nessas condições, a vale:
Resolução comentada
Igualar a área da elipse (2πa) à área sob a parábola y = π√(9−x).
A área da elipse é π·2·a = 2πa. A região é 0 ≤ y ≤ π√(9−x), para 0 ≤ x ≤ 9, com área π∫₀⁹√(9−x)dx = π·(2/3)·27 = 18π. Então 2πa = 18π e a = 9.
Análise das alternativas
A), B) e C) subestimam a área da região. E) 18 viria de esquecer o fator 2 do semieixo 2 da elipse.
Referência: Cálculo – Áreas por integração e área da elipse.
Resolução comentada do VaiConcursos.