Gabarito disponível
A região D ⊂ ℝ² é uma região de interior não vazio do plano, limitada pela curva C: [0,1] → ℝ², fechada, simples, regular (isto é, derivável, com derivada contínua e C′(t) ≠ 0) e positivamente orientada.
Se ∮_C (4y dx + 2x dy) = −16, então a área da região D é igual a:
Se ∮_C (4y dx + 2x dy) = −16, então a área da região D é igual a:
Resolução comentada
Teorema de Green: ∮(P dx + Q dy) = ∬(∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA.
Com P = 4y e Q = 2x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 2 − 4 = −2. Logo ∮ = −2·Área = −16 e a área vale 8.
Análise das alternativas
A) 4, C) 16, D) 32 e E) 64 vêm de erro no integrando (por exemplo, usar 2+4 = 6 ou 4−2 com sinal errado) ou de não dividir por 2.
Referência: Cálculo vetorial – Teorema de Green.
Resolução comentada do VaiConcursos.