Gabarito disponível
Considere a superfície S dada pela parte da semiesfera de equação x² + y² + z² = 2, z ≥ 0, que fica na região x² + y² ≤ z², z > 0. Nessas condições, a integral de superfície ∬_S z dS é igual a:
Resolução comentada
Integral de z sobre uma calota esférica, em coordenadas esféricas.
Em x²+y²≤z² com x²+y²+z²=2, temos z ≥ 1, ou seja, φ ∈ [0, π/4]. Com R = √2, dS = R² sen φ dφ dθ e z = R cos φ. A integral é R³·2π·∫₀^{π/4} senφ cosφ dφ = 2√2·2π·(1/4) = √2π.
Análise das alternativas
As demais opções resultam de erros no cálculo do raio, dos limites de φ ou do elemento de superfície. Por exemplo, usar R = 1 ou φ até π/2 altera o valor.
Referência: Cálculo vetorial – Integral de superfície em esfera.
Resolução comentada do VaiConcursos.