Gabarito disponível
Considere as informações a seguir referentes a duas circunferências L₁ e L₂.
L₁: Está inscrita num triângulo equilátero ABC, de altura H e seu raio é R.
L₂: Tem raio r, está na superfície do mesmo triângulo ABC de L₁, tangenciando internamente os lados AB e BC, e tangenciando externamente a circunferência L₁.
É correto afirmar que a expressão E = (R − r)/H é igual a:
L₁: Está inscrita num triângulo equilátero ABC, de altura H e seu raio é R.
L₂: Tem raio r, está na superfície do mesmo triângulo ABC de L₁, tangenciando internamente os lados AB e BC, e tangenciando externamente a circunferência L₁.
É correto afirmar que a expressão E = (R − r)/H é igual a:
Resolução comentada
Circunferência inscrita e circunferência menor tangente em um vértice do triângulo equilátero.
Com altura H, R = H/3. O centro de L₂ está sobre a bissetriz de B, a distância 2r de B, porque o ângulo em B é 60° e sen30° = 1/2. O centro de L₁ está a 2H/3 de B. A tangência externa dá 2H/3 − 2r = R + r, então 3r = H/3 e r = H/9. Logo (R − r)/H = 1/3 − 1/9 = 2/9.
Análise das alternativas
1/2, 1/3, 2/5 e 3/7 não resultam de r = H/9 e R = H/3.
Referência: Geometria plana: circunferências tangentes e triângulo equilátero.
Resolução comentada do VaiConcursos.