Questão 44 — Integrais Triplas — Coordenadas Esféricas (Cálculo Diferencial e Integral) — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2013

Cálculo Diferencial e Integral Integrais Triplas — Coordenadas Esféricas

Diretoria de Ensino da Marinha 2013

Marinha do Brasil · Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T) — Matemática · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Considere W a região do ℜ³ interseção das três regiões seguintes: região exterior à esfera x² + y² + z² = 4z, região interior à esfera x² + y² + z² = 16 e região no semiespaço z ≥ 0. Qual é a definição de W no sistema de coordenadas esféricas, considerando θ = ângulo em coordenadas polares da projeção de (x, y, z) no plano xy?

Selecione uma alternativa A) W = {(ρ, φ, θ) ∈ ℜ³ / 2cosφ ≤ ρ ≤ 16, 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ π} B) W = {(ρ, φ, θ) ∈ ℜ³ / 2 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π} C) W = {(ρ, φ, θ) ∈ ℜ³ / 2senφ ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ 2π} D) W = {(ρ, φ, θ) ∈ ℜ³ / 4cosφ ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ 2π} E) W = {(ρ, φ, θ) ∈ ℜ³ / 2senφ ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π/2}

Resolução comentada

Fora da esfera ρ=4cosφ, dentro de ρ=4 e z≥0: 4cosφ ≤ ρ ≤ 4, 0≤φ≤π/2, 0≤θ≤2π.

Em coordenadas esféricas, x²+y²+z²=4z vira ρ=4cosφ, e x²+y²+z²=16 vira ρ=4. Estar fora da primeira esfera e dentro da segunda dá 4cosφ ≤ ρ ≤ 4. Como z≥0, temos 0≤φ≤π/2. A região tem simetria de rotação, então 0≤θ≤2π.

Análise das alternativas

A) Usa 2cosφ e ρ≤16, erros nos raios, e limita θ a π. B) Descreve uma casca esférica e ignora z≥0. C) Usa 2senφ e raio 2, o que está errado. E) Usa 2senφ, φ até π e θ até π/2, também errados.

Referência: Integrais triplas em coordenadas esféricas.

Resolução comentada do VaiConcursos.