Gabarito disponível
Considere que S é a superfície em ℜ³ de equação z + x² + y² − 1 = 0 e P é um ponto de S. Se o plano tangente à S em P é paralelo ao plano 2x + y − z − 10 = 0, então qual é a distância de P em relação à origem?
Resolução comentada
A normal (2x,2y,1) paralela a (2,1,−1) dá P=(−1,−1/2,−1/4) e |P|=√21/4.
A superfície é z=1−x²−y², com normal (2x,2y,1). Ela deve ser paralela a (2,1,−1), logo (2x,2y,1)=k(2,1,−1) e k=−1. Isso dá x=−1, y=−1/2 e z=1−1−1/4=−1/4. Então |P|²=1+1/4+1/16=21/16 e a distância é √21/4.
Análise das alternativas
As demais opções não correspondem a |P|²=21/16. Por exemplo, √19 e √23/3 resultam de erros no cálculo de x, y ou z.
Referência: Cálculo de várias variáveis – plano tangente e vetor normal.
Resolução comentada do VaiConcursos.