Gabarito disponível
A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função f(x) é positiva.
Resolução comentada
As raízes são -1, 1, 2 e 3; f>0 em (-∞,-1) ∪ (1,2) ∪ (3,+∞).
Sabendo que -1 e 1 são raízes, a soma das raízes é 5 e o produto é -6, o que dá as outras duas raízes: 2 e 3. Como o coeficiente de x⁴ é positivo, f é positiva à direita da maior raiz e o sinal alterna a cada raiz. Logo f>0 em (-∞,-1) ∪ (1,2) ∪ (3,+∞).
Análise das alternativas
As demais alternativas apresentam intervalos que não correspondem às raízes -1, 1, 2 e 3 ou não respeitam a alternância de sinais.
Referência: Polinômios – raízes e estudo do sinal
Resolução comentada do VaiConcursos.