Gabarito disponível
Considere as equações de nove retas distintas do plano cartesiano:
r₁: y=3x-2
r₂: 3x+y+1=0
r₃: -x-3y+1=0
r₄: y= -x/3 + 1/3
r₅: 3x+9y+2=0
r₆: y= -3x+7
r₇: 6x+2y+4=0
r₈: -3x-y-9=0
r₉: x/3 + y/2 =1
Sorteando aleatoriamente e sem reposição duas retas dessa lista, a probabilidade de obter duas retas cuja interseção é um conjunto não vazio é
r₁: y=3x-2
r₂: 3x+y+1=0
r₃: -x-3y+1=0
r₄: y= -x/3 + 1/3
r₅: 3x+9y+2=0
r₆: y= -3x+7
r₇: 6x+2y+4=0
r₈: -3x-y-9=0
r₉: x/3 + y/2 =1
Sorteando aleatoriamente e sem reposição duas retas dessa lista, a probabilidade de obter duas retas cuja interseção é um conjunto não vazio é
Resolução comentada
Contando como sem interseção apenas os pares de retas paralelas, obtém-se 27/36 = 0,75.
O total de pares é C(9,2) = 36. Retas com mesmo coeficiente angular formam os grupos: inclinação −3 (r₂, r₆, r₇, r₈) com 6 pares, e inclinação −1/3 (r₃, r₄, r₅) com 3 pares; r₁ (3) e r₉ (−2/3) estão sozinhas. Seguindo o gabarito, são 9 pares paralelos sem interseção, então P = (36 − 9)/36 = 27/36 = 0,75.
Análise das alternativas
Note que r₃ e r₄ são, na verdade, a mesma reta e teriam interseção não vazia; o gabarito considera todos os 9 pares de mesma inclinação como disjuntos. As demais alternativas (0,15; 0,25; 0,50; 0,85) não correspondem a essa contagem.
Referência: Probabilidade e posição relativa de retas.
Resolução comentada do VaiConcursos.