Gabarito disponível
Considere a equação a/(1 − x²) − b/(x − 1/2) = 5, com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então x ≠ 1/2, x ≠ −1 e x ≠ 1.
III. x = 2/3 não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s)
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então x ≠ 1/2, x ≠ −1 e x ≠ 1.
III. x = 2/3 não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
As três afirmações são verdadeiras.
I: com a = 1, b = 2 e x = 0, tem-se 1/1 − 2/(−1/2) = 1 + 4 = 5, então x = 0 é solução. II: os denominadores 1 − x² e x − 1/2 não podem se anular, logo x ≠ ±1 e x ≠ 1/2. III: com x = 2/3, a equação vira 9a/5 − 6b = 5, ou seja, 9a − 30b = 25. O lado esquerdo é múltiplo de 3 e 25 não é, então não há a e b inteiros que a satisfaçam.
Análise das alternativas
A, B, C e D estão erradas porque deixam de fora ao menos uma afirmação verdadeira. Todas as três (I, II e III) são verdadeiras.
Referência: Equações racionais; divisibilidade.
Resolução comentada do VaiConcursos.