Questão 19 — Geometria Analítica — Circunferência e Potência de Ponto (Matemática) — Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)

Matemática Geometria Analítica — Circunferência e Potência de Ponto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Médio

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular — Matemática

Gabarito disponível

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x − y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a

Selecione uma alternativa A) (2, 2√2 − 2) e 2√2 − 2. B) (2, √2/2 − 1/2) e √2/2 − 1/2. C) (2, √2 − 1) e √2 − 1. D) (2, 2 − √2) e 2 − √2. E) (2, 4√2 − 4) e 4√2 − 4.

Resolução comentada

A potência de O vale a² (a = abscissa do centro) e a tangência dá o raio.

O centro é (a, r), pois a circunferência tangencia Ox. A potência de O é a² + r² − r² = a² = 4, logo a = 2. A tangência a x − y = 0 dá |2 − r|/√2 = r, então r = 2/(√2 + 1) = 2√2 − 2. O centro é (2, 2√2 − 2).

Análise das alternativas

B, C, D e E dão raios que não satisfazem a condição de tangência à reta x − y = 0 com centro de abscissa 2. Em D, por exemplo, r = 2 − √2 não verifica |2 − r| = r√2.

Referência: Geometria analítica: circunferência, tangência e potência de ponto

Resolução comentada do VaiConcursos.