Gabarito disponível
Um número primo da forma 4n + 1 sempre pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Exemplificando: 13 = 3² + 2².
Admitindo o número primo P tal que 102 < P < 110, sendo P da forma 4n + 1, escrito como soma de dois quadrados P = k² + r², teremos k + r igual a:
Admitindo o número primo P tal que 102 < P < 110, sendo P da forma 4n + 1, escrito como soma de dois quadrados P = k² + r², teremos k + r igual a:
Resolução comentada
O primo entre 102 e 110 da forma 4n+1 é 109 = 10² + 3², logo k + r = 13.
Os primos entre 102 e 110 são 103, 107 e 109. Só 109 deixa resto 1 na divisão por 4 (109 = 4·27 + 1). Como 109 = 100 + 9 = 10² + 3², temos k + r = 10 + 3 = 13.
Análise das alternativas
A, B e C: não correspondem à soma das bases da única decomposição de 109 em dois quadrados. 103 e 107 deixam resto 3 por 4, portanto não servem.
Referência: Números primos e quadrados perfeitos.
Resolução comentada do VaiConcursos.