Gabarito disponível
Marin Mersenne (1588 – 1648) foi um monge francês que tinha muito interesse pela ciência. Nos dias atuais, ele é lembrado principalmente pelos números primos de Mersenne. Esses números podem ser escritos da forma 2ⁿ − 1, em que n é um número natural. O número 7, por exemplo, é um número primo de Mersenne, pois pode ser escrito como 2³ − 1 . O número 11, apesar de ser primo, não é um primo de Mersenne, pois não há um número natural p, tal que 2ᵖ − 1 = 11. Já o número 15, pode ser escrito como 2⁴ − 1, mas não é um número primo de Mersenne, por não ser primo.
Atualmente, há apenas 51 números primos de Mersenne descobertos, sendo que o último corresponde a n = 82.589.933 e tem 24.862.048 algarismos. Essa última descoberta ocorreu em 7 de dezembro de 2018, por Patrick Laroche, profissional de TI (Tecnologia da Informação) que trabalha na Flórida, Estados Unidos.
Com base nas informações anteriores, quantos números primos de Mersenne existem entre 1 e 10.000?
Atualmente, há apenas 51 números primos de Mersenne descobertos, sendo que o último corresponde a n = 82.589.933 e tem 24.862.048 algarismos. Essa última descoberta ocorreu em 7 de dezembro de 2018, por Patrick Laroche, profissional de TI (Tecnologia da Informação) que trabalha na Flórida, Estados Unidos.
Com base nas informações anteriores, quantos números primos de Mersenne existem entre 1 e 10.000?
Resolução comentada
Contar os primos da forma 2^n − 1 menores que 10.000.
Testando os valores de n: 2²−1 = 3, 2³−1 = 7, 2⁵−1 = 31, 2⁷−1 = 127 e 2¹³−1 = 8191 são primos. Os valores de n não primos nunca dão primo, e 2¹¹−1 = 2047 = 23·89 não é primo. O próximo, 2¹⁷−1 = 131071, passa de 10.000. Há, portanto, 5 primos de Mersenne no intervalo.
Análise das alternativas
A, B, C e D contam números a mais. Isso acontece, por exemplo, ao incluir compostos como 15, 63 ou 2047, ou ao contar números primos que não são da forma 2^n − 1.
Referência: Números primos de Mersenne.
Resolução comentada do VaiConcursos.