Gabarito disponível
Seja Pₙ um polígono convexo regular de n lados, com n ≥ 3. Considere as afirmações a seguir:
I. Pₙ é inscritível numa circunferência.
II. Pₙ é circunscritível a uma circunferência.
III. Se ℓₙ é o comprimento de um lado de Pₙ e aₙ é o comprimento de um apótema de Pₙ, então aₙ/ℓₙ ≤ 1 para todo n ≥ 3.
É (são) verdadeira(s)
I. Pₙ é inscritível numa circunferência.
II. Pₙ é circunscritível a uma circunferência.
III. Se ℓₙ é o comprimento de um lado de Pₙ e aₙ é o comprimento de um apótema de Pₙ, então aₙ/ℓₙ ≤ 1 para todo n ≥ 3.
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, mas a/ℓ pode ser maior que 1.
Todo polígono convexo regular tem circunferência circunscrita e inscrita, então I e II são verdadeiras. Em III, aₙ/ℓₙ = 1/(2·tg(π/n)). Isso é menor que 1 para n = 3, mas cresce com n. Para n = 10, tg 18° ≈ 0,325, e a razão é ≈ 1,54 > 1. A afirmação é falsa.
Análise das alternativas
A e B: cada uma deixa de fora uma afirmação verdadeira. C e E: incluem III, que é falsa. D: reúne exatamente as verdadeiras, I e II.
Referência: Polígonos regulares: apótema e raio.
Resolução comentada do VaiConcursos.