Gabarito disponível
Seja (a₁, a₂, a₃, ...) a sequência definida da seguinte forma: a₁ = 1000 e aₙ = log₁₀(1 + aₙ₋₁) para n ≥ 2. Considere as afirmações a seguir:
I. A sequência (aₙ) é decrescente.
II. aₙ > 0 para todo n ≥ 1.
III. aₙ < 1 para todo n ≥ 3.
É (são) verdadeira(s)
I. A sequência (aₙ) é decrescente.
II. aₙ > 0 para todo n ≥ 1.
III. aₙ < 1 para todo n ≥ 3.
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
Sequência aₙ = log(1+aₙ₋₁) é decrescente, positiva e a₃ < 1.
Se aₙ₋₁ > 0, então 1 + aₙ₋₁ > 1 e aₙ > 0, o que prova II por indução. Como log₁₀(1+x) 0, tem-se aₙ < aₙ₋₁, logo a sequência é decrescente (I). Calculando, a₂ = log 1001 ≈ 3,0004 e a₃ = log(4,0004) ≈ 0,602 < 1. Como a sequência é decrescente, aₙ < 1 para todo n ≥ 3 (III).
Análise das alternativas
A, B, C e E omitem alguma afirmação verdadeira. Todas as três são verdadeiras, então D é a correta.
Referência: Sequências definidas por recorrência e propriedades de logaritmos.
Resolução comentada do VaiConcursos.