Gabarito disponível
Das afirmações:
I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2ᵏ⁻¹(2m − 1), em que k e m são inteiros positivos.
II. Existe um número x ∈ [0, π/2] de tal modo que os números a₁ = sen x, a₂ = sen (x + π/4), a₃ = sen (x + π/2) e a₄ = sen (x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.
III. Existe um número inteiro primo p tal que √p é um número racional.
é (são) verdadeira(s)
I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2ᵏ⁻¹(2m − 1), em que k e m são inteiros positivos.
II. Existe um número x ∈ [0, π/2] de tal modo que os números a₁ = sen x, a₂ = sen (x + π/4), a₃ = sen (x + π/2) e a₄ = sen (x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.
III. Existe um número inteiro primo p tal que √p é um número racional.
é (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
Avaliar três afirmações sobre números inteiros, PG trigonométrica e irracionalidade da raiz de primo.
I é verdadeira: todo inteiro positivo é uma potência de 2 vezes um ímpar, e a decomposição é única (fatoração em primos). II é falsa: a PG exige a₂² = a₁a₃, ou seja sen²(x+π/4) = sen x·cos x. Isso dá (1+sen2x)/2 = sen2x/2, o que leva a 1/2 = 0, impossível. III é falsa: a raiz quadrada de um primo é irracional.
Análise das alternativas
B, D e E são erradas porque incluem a II, que é falsa. C é errada porque a III é falsa. Só a I é verdadeira, o que torna A correta.
Referência: Teoria dos números, PG e trigonometria.
Resolução comentada do VaiConcursos.