Gabarito disponível
Em um setor circular de 45º, limitado pelos raios O̅A̅ e O̅B̅ iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde M̅N̅ está apoiado em O̅A̅ e o ponto Q sobre o raio O̅B̅. Então, o perímetro do quadrado é:
Resolução comentada
O perímetro do quadrado é 4R√5/5.
Seja s o lado do quadrado. Com M e N sobre OA e Q sobre OB (45°), o triângulo OMQ é isósceles, então OM = MQ = s e ON = 2s. O vértice P tem coordenadas (2s, s) e está no arco, logo 4s² + s² = R² e s = R/√5. O perímetro é 4R/√5 = 4R√5/5.
Análise das alternativas
A, B, C e D) Erradas: não decorrem de 5s² = R². D) em particular multiplica por √5 em vez de dividir.
Referência: Geometria plana – figuras inscritas em setor circular
Resolução comentada do VaiConcursos.