Gabarito disponível
Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45⁰ no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:
Resolução comentada
Após girar 45°, a hipérbole equilátera x² − y² = 4 vira xy = 2.
O eixo real é 2a = 4, então a = 2 e, sendo equilátera, a hipérbole é x² − y² = 4. Girando 45° no sentido anti-horário, x = (x'−y')/√2 e y = (x'+y')/√2 dão x² − y² = −2x'y'... na substituição inversa adequada, obtém-se 2xy = 4. A equação é xy = 2, com assíntotas nos eixos coordenados.
Análise das alternativas
B) Errada: tem termos x² e y² que não surgem após a rotação de 45° de uma hipérbole equilátera. C) e E) Erradas: continuam com eixos paralelos aos eixos, sem rotação. D) Errada: xy = −2 seria a rotação no sentido horário, ou de 135°.
Referência: Geometria analítica – rotação de cônicas
Resolução comentada do VaiConcursos.