Gabarito disponível
Sejam x₁, . . . , x₅ e y₁, . . . , y₅ números reais arbitrários e A = (aᵢⱼ) uma matriz 5 × 5 definida por aᵢⱼ = xᵢ + yⱼ, 1 ≤ i, j ≤ 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é
Resolução comentada
A matriz aᵢⱼ = xᵢ + yⱼ tem posto no máximo 2.
A pode ser escrita como A = x·1ᵀ + 1·yᵀ, onde x e y são os vetores coluna dos xᵢ e dos yⱼ e 1 é o vetor de uns. É a soma de duas matrizes de posto no máximo 1, então r ≤ 2. O valor 2 é atingido, por exemplo com xᵢ = i e yⱼ = j². Portanto, o maior valor possível é 2.
Análise das alternativas
A) Errada, pois o posto 2 é possível. C, D e E) Erradas, pois o posto nunca passa de 2.
Referência: Álgebra linear: posto de matriz e subaditividade do posto.
Resolução comentada do VaiConcursos.