Gabarito disponível
Considere as funções f, g : ℝ → ℝ dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f⁻¹ ∘ g⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por
Resolução comentada
Os inversos comutam se, e somente se, f e g comutam.
f⁻¹∘g⁻¹ = (g∘f)⁻¹ e g⁻¹∘f⁻¹ = (f∘g)⁻¹, então a igualdade equivale a f∘g = g∘f. Temos f(g(x)) = acx + ad + b e g(f(x)) = acx + bc + d. Igualando os termos independentes, ad + b = bc + d, isto é, b + ad = d + bc.
Análise das alternativas
B, C, D e E) Erradas, pois não correspondem à condição ad + b = bc + d obtida da comutação.
Referência: Funções: composição e inversa de funções afins.
Resolução comentada do VaiConcursos.