Gabarito disponível
As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ + z⁷, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é
Resolução comentada
Raízes são as 7 raízes oitavas da unidade diferentes de 1: área = (3√2+1)/2.
O polinômio é (z⁸ − 1)/(z − 1), cujas raízes são as raízes oitavas da unidade, exceto 1. Elas formam um heptágono, que é o octógono regular inscrito na circunferência unitária (área 2√2) sem o triângulo formado por 1 e seus vizinhos e^{±iπ/4}. Esse triângulo tem área (√2 − 1)/2. Logo a área é 2√2 − (√2 − 1)/2 = (3√2 + 1)/2.
Análise das alternativas
A) e B) são áreas muito pequenas (menores que 1). C) √2 e E) 3√2 não correspondem ao octógono (2√2) menos o triângulo retirado. Só D confere.
Referência: Raízes da unidade; área de polígonos regulares.
Resolução comentada do VaiConcursos.