Gabarito disponível
Considere no plano cartesiano os pontos A(2, 0) e B(6, −4) que são simétricos em relação à reta r
Se essa reta r determina na circunferência x² + y² − 12x − 4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo
Se essa reta r determina na circunferência x² + y² − 12x − 4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo
Resolução comentada
A reta r é a mediatriz de AB (y = x − 6). A corda mede 2√6 ≈ 4,9.
Se A e B são simétricos em relação a r, então r é a mediatriz de AB. O ponto médio é (4, −2) e o coeficiente angular de AB é −1, logo r tem coeficiente 1 e equação y = x − 6. A circunferência é (x − 6)² + (y − 2)² = 8, com centro (6, 2) e raio 2√2. A distância do centro à reta x − y − 6 = 0 é |6 − 2 − 6|/√2 = √2. A corda mede n = 2√(8 − 2) = 2√6 ≈ 4,9, que pertence a [4, 5[.
Análise das alternativas
B, C e D indicam valores menores que 4, incompatíveis com 2√6 ≈ 4,9.
Referência: Geometria analítica: mediatriz, distância ponto-reta e corda da circunferência.
Resolução comentada do VaiConcursos.