Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (a, b) ∈ ℝ² que tornam impossível o sistema linear
S:
−x + 5y = 10
(a²/5 + 5b²)x + 10aby = 1.
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (a, b) ∈ ℝ² que tornam impossível o sistema linear
S:
−x + 5y = 10
(a²/5 + 5b²)x + 10aby = 1.
Resolução comentada
O sistema é impossível quando as retas são paralelas distintas, o que dá (a+5b)²=0, uma reta.
As retas são paralelas quando (a²/5+5b²)/(−1) = 10ab/5 = 2ab. Isso dá a²+10ab+25b² = 0, ou seja, (a+5b)² = 0 e a = −5b. A segunda reta nunca coincide com a primeira, pois seu termo constante é 1 e o múltiplo possível da primeira seria negativo (−100b²) ou nulo, e no caso a=b=0 a equação fica 0=1. O lugar geométrico é a reta a = −5b.
Análise das alternativas
A, C, D) Seriam cônicas, mas a condição obtida é linear em a e b. E) Há infinitos pontos (a,b) com a = −5b.
Referência: Discussão de sistemas lineares 2×2
Resolução comentada do VaiConcursos.