Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n × n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:
I. |det(A)| = 1.
II. Aᵀ = A⁻¹.
III. A + A⁻¹ é uma matriz diagonal.
É(são) sempre VERDADEIRA(S)
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n × n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:
I. |det(A)| = 1.
II. Aᵀ = A⁻¹.
III. A + A⁻¹ é uma matriz diagonal.
É(são) sempre VERDADEIRA(S)
Resolução comentada
Apenas I é sempre verdadeira.
I: det(A)·det(A⁻¹)=1 e ambos são inteiros, logo |det A|=1. II é falsa: A=[[1,1],[0,1]] é inversível, tem inversa inteira e Aᵀ≠A⁻¹. III é falsa: para A=[[1,1,0],[0,1,1],[0,0,1]], a soma A+A⁻¹ tem entrada 1 acima da diagonal e não é diagonal.
Análise das alternativas
B, C, D, E) Incluem II ou III, e os contraexemplos acima mostram que elas nem sempre valem.
Referência: Determinantes; matriz inversa
Resolução comentada do VaiConcursos.