Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja f : [−1, 1] → [−π/2, π/2] a função definida por f(x) = arcsen(x). Então, a soma ∑ₙ₌₀⁴ f(cos(2π/3ⁿ)) é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Seja f : [−1, 1] → [−π/2, π/2] a função definida por f(x) = arcsen(x). Então, a soma ∑ₙ₌₀⁴ f(cos(2π/3ⁿ)) é igual a
Resolução comentada
A soma é 5π/2 − 80π/81 = 245π/162.
Para θ ∈ [0,π], arcsen(cos θ) = π/2 − θ. Para n=0, cos 2π = 1 e o resultado é π/2. Para n=1..4, o resultado é π/2 − 2π/3ⁿ. A soma é 5π/2 − 2π(1/3+1/9+1/27+1/81) = 5π/2 − 80π/81 = (405−160)π/162 = 245π/162.
Análise das alternativas
A, C, D, E) Resultam de erros no tratamento do caso n=0 ou na soma da PG.
Referência: Função arcsen; identidade arcsen(cos θ) = π/2 − θ
Resolução comentada do VaiConcursos.